^.-^v

572

Buletinul societăţii române de ştiinţe

M A S S E :

Lănge

Breite

Fliigellănge

Schwanzlănge

LângsteDeckfeder unter detnSchwanz

Hohe der Fusswurzel

Mittelzehe

Kralle

Hinterzehe

Kralle

Aussenzehe

Kralle

Innenzehe

Kralle

Schnabelhohc

Schnabellănge

Lănge des Nasenioclie.^

Breite des Nasenloclies

9 ad.

9 med.

'6 juv.

7.3

71.5

68.5

17.0

170.5

16.7

54.5

55

53.5

2.5

26.5

25.5

18.5

18

18

9

9

9

8.8

8.7

9

3.3

3.2

3.3

67

6.7

7

4.4

3.8

4.5

6

61

6.1

2.2

2.2

2.3

6.3

6.5

6.9

3.7

3.8

39

2.2

2.2

2

4,5

4.5

4.6

1

1

1

5

5

5

liUJ.trriNUL SOCIETĂŢII KOMÂNE DE SCIINŢE

57;<

'" i6,r

I 53,0

\%

(1,!^

OBSERVAŢIUNI METEOROLOGICE

FĂCUTE LA

OBSERVATORUL ASTRONOMIC ŞI METEOROLOGIC DIN BUCUREŞTI

LUNA IUNIE 1911 st. n.

Director: N. COCULESCU.

înălţimea barometrului d'asupra nivelului Mării 82 metri

q:s&

Temperatura aerului C

26.2 19.0 21.5 5.3 23.8 25,3 26.2 28.2 28.9

31.0

26.8 19.2 26.4 27.8 18.9 23.7 27.1 30.9 35.0

30.8

27

26.5

29.0

32.8

35.5

37.6

29.4

20.0

25.5

Umezeala aerului

14.5 12.5 10.0 10.0 13.7 15.1 12.1 14.5 15.5 16.2

16.0 15.7 13.4 13.4 17.3 10.0 9.4 9.8 12.0 16.4

16.3 14.9 11.8 13.9 13.9 17.3 18.1 15.2 15.8 16.9

54.2 20.2 27,2 14.1 13.2 11.0

I 11.7| 6.5 11.5 15.3 10.1 102 14.1 13.7 13.4 13.7

15.0 11.1

5.8 13.0 10.5

8.9 14.3 17.3 18.9 18.6

14.5 13.0 14.7 15.1 18.9 18.2 19.5 14.2 4.2 8.6

10.5

8.2

8.7

9.1

10.8

10.0

10.4

10.5

10.4

10.4

11.4

11.8

12.0

13.6

11.8

6.9

7.0

7.8

11.4

14.3

15 5 11.2 10.1 10.9 10.4 11.4 14.7 14.4 12.7 12.5

4.3

65 69 68

54112.8 65'i 5.3 57:; 7.4i 57:j12.5! 53 10.3 4915.3 46 12.4

51

88

75

60

54

45; 12,

43il4,

49jl5

54lill,

, IK ii

'&|i «5'' Tem

!" 1 =^' solului C

5S

Adânc.

3llcin ISOcni

47.0 11.0 19.117.1 30.5 9.3 18.6 17.5

39.5|j 8.3 17.3 48.7ij 8.0[:i8.1 48.4111.1119.3 49.5,|13.3!l9.9 46.9: 8.9120.3 58.0 11.9 20.9 53.7 11.6|!216 54.2| 14.3jÎ22.2

56.9 12.9Î|22.7

48.8115.0 22.7

312 13.6 21.0

42.6} 11.3 19.9

53.5,16.9 21.5

,42.2; 8.i;>20.8

4IJ47.2' 6.9 19.5

3 52.8 6.5 20.0

3 .58.1 10.7 20.9

9 62.6,114.1122.3

66j 4.9 65 11.0 52J13.9 49|15.2' 4lil5.1i 39 15.3 46 14.0 76 3.4Î 84 -j 64 9.6J

58î295.s|

48.6!| 53.4 56.0 55.8: 55.2 63.7 60.0 .")4.7 36.5 39.5:

15.5

14.5 9.1 10.9 11.4 13.0 16.5 Iti.l 16.9,, 15.4!i

23.3

22.4 22.0 22.0 23.1 23.7 24.8 25.1 22.4 21.2

50.1 Îl2.1i 21.3

8.o;,

7.3j: 5.7li 4.7li 8.0, 6.7ii 4.3: 6.3 1.7 3.7

17.1 17.0 17.3 17.7 18.1 18.4 18.7 19

19.6

19.9

19

19.3

19.3

19.6

19,2

19.0

19.1

19.5

20.1

20.4 20.4 20.4 20, 20, 21.3

21.91; 8.0 21.7 10.0 21.0 4.7,

19.4[| 5.0 ENE.WSW

7.3i

1.31! 2.0'; 1.3|! 0.3! 1.0

ENE ENE ENE WSW ENE NNE "WSW WSW WSW WSW

SW

WSW

ENE ENE WNW WSW

NN W WSW

Var.

s\v

SE

Var.

SW WNW ESE ENE ENE ENE

34.7 1.7

0.3

0.0

0.1

23.(

FENOMENE DIVESE

j®M7i'5.5,®ci9''10.K 11847,

"li' 10-1 ''25 f/'18''25,4l8''24

■5'',®"3''15-3'>.50

4.0LQ.0a,T0,»14'',®'14M.5-14i'2 3.ll®00''25-2''30 [20i'55-23f'

0.4'®i.06''30-9'>.58,10''10-l()H0,lli'17-

l.l;r^f'a-7''30,<^'21i'15-p [11''.50

3.8[!^"a.T"16'^57, ® 1 7''15,/ 1 7M5 4.6i/7''15-8''15,12''l0-15 15

4.1- 3.9|

4.8;

2.8;

^'ă, K 122^-p. ® i23i'.3i i-23i'40

1.8;R'\i11i..5 1.8 ®ooi'45- 1.6'.a.0d 2.0:j3.0a 4.0!!ji.0a

4.2l^0;,

3.8La.0a 1.6 R.ill''l(l

5,® '^12'',®!

,'M7''I0,

I®'

23''30

/ll''20,®^ 5.5:1 0.3 |®f'3"5.4''37.6M(t 27, 2.0'l—

Ml ''32, Al 12T.

2.4 93.311 80.4

Luna Iunie 1911 a ;ivut în general la Bucureşti un timp obişnuit de călduros, însă foarte variabil.

Temperatura lunară, 2002, este normală; limitele între cari această temperatură a oscilat în ultimii 40 de ani sunt: 2z08 ^1874) Şi*03 (1890). Perioadele mai călduroase din cursul acestei luni au cuprins zilele de la 10 la 11, 19 la 21 şi de la 25 la 27; această din mi perioadă a fost extraordinar de călduroasă, termometrul ridicându-se in ultima zi a ei până U 3706, valoare care de la 1877 In- '!f e a fost întrecută numai In 2 ani (18j9 şi 1908> In urma ploilor căzute mai in totdeauna timpul s"a răcit, uănd loc la perioade naai 1". sau mai puţin reci. Asl-fel, putem cită zilele: de la 2 la 5, 13 la 14, Ib la 17 şi iH la 29, în cari temperaturile mijlocii zilnice u -ist cu 20 la 60 mai coborite ca valorile normale corespunzătoare; în ziua de 17 a avut loc cea mai mică valoare a temperaturei ii această lună, 904. zile de vară au fost 23; cu uua mai mult ca In general. Cantitatea totală de apa, 9.i mm, este numai cu 4 mm 01 mare de cât aceea ce se aduna de obiceiu in lunio. Din această cantitate, fi8 mm s'au adunat numai în 2 zile, U 1 şl 28, când au :ăt ploi torenţiale însoţite de puternice manifestaţiuni electrice .şi de câte puţină grindină măruntă (respectiv 35 şi 23 mm). In > , au tost 10 zile cu cantităţi apreciabile de apă; de obiceiu sunt 12. Presiunea atu.osferică lunară, 75» mm, este cu 2 mm mai ■ii ată ca valoarea normală. Barometrul a oscilai tn această lună între 762 mm în ziua de 3 şi 747 mm la 10. In ziua de 28, în tinpul 31 şi al manilestaţiunilor electrice cari au avut loc, coloana barometrică a font extrem de aV'itaiă, baro^jralele Observatorului tnre- <i -ând curbe cu totul caracteristice. Direcţiunea dominantă a vâniului a fost WSW (Austiul). Iu '1 zile a sullat vânt lare; la 2h u ila vântului da la NW ajunsese între 11 h şi 12 h până la aproape 15 metii pe secundă. Umezeala aerului a fost cu 50/q mai mici ;a ormală. Cerul obişnuit de înnorat. Zile senine au fost 9, noroaselu şi acoperite 6; câte suni şi in general. Soarele s'a arătat in 18 8 zile, pe o durată totală de 290 de ore, adică cu 24 de ore mai mult de cât el se arată in mod nurraal In aceaală lună, deşi nu- M U tilelor in caro a strălucit «ste ceva mai mic. In 14 zile s'a notat rouă, In 1 ceaţă, iu 7 tun«te şi fulgere, iar tn 1 numai fulgura Urlate.

FORTHE PEOPLE

FOR EDVCATION

FOR SCIENCE

LIBRARY

OF

THE AMERICAN MUSEUM

OF

NATURAL HISTORY

=.

Bound A.N1.N.

iIlMititakIluik LilU

ANUL XX. IANUARIE- FE¥i«5iWffi 1911 No. 1.

BULETINUL

m\mn mm m ştiinţe

BUCUREŞTI-ROMÂNIA

SPLAIUL GENERAL MAGHERU 2

BUllEra DE LA SOCIETE ROIMAINE DES SCIEIES

EUCAREST-ROUMANIE

SPLAIUL GENERAL MAGHERU 2 «<■»■

APARE SDB DIRECTIDNEA SECRETARULDI GENERAL §1 A COMITETDLDl DE REDACŢIE

j EL CUPRINDE : PROCESELE-VERBALE ALE ŞEDINŢELOR SOGIETÂŢU ŞI MEMORIILE 1 PRESENTATE, CONFERINŢELE FĂCUTE ÎN SÎNUL SOCIETĂŢII, PRECUM ŞI DĂRI DE SEAMĂ ' RELATIVE LA LUCRĂRILE NOI FĂCUTE ÎN STRĂINĂTATE ; VA CONŢINE DE ASEMENEA BIOGRAFIA OAMENILOR ILUŞTRI ŞI LUCRĂRILE FĂCUTE DE ROMÂNI ÎN STRĂINĂTATE SAU PUBLICITATE ÎN STRĂINĂTATE DESPRE ROMĂNIA

PREŢUL ABONAMElVTLLll AMAL : 25 LEI l^ ŢARA ŞI STRĂINĂTATE Priz de raboaaement annuel : 25 Frs. pour le pays et pour Tâtranger

■''^««H«l*-*#'r»

BUCUREŞTI

IMPRIMERIA STATULUI

BIUROUL SOCIETĂŢII

Preşedinte : D-1 Inginer I. lONESCU Profesor la şcoala de poduri şi şoaele.

Secretar-perpetuu : D-l Dr. C. I. ISTRATI, Profesor de chimie organică la Universitate membru al Academiei Române, Splaiul General Magheru, 2,

Cassier: D-l I. MICHAESCD, Splaiul General Maghoru, 2.

Bibliotecar şi Arhivar: D-l Dr. M. A. MIHAILESCU, Şef de lucnlri la Inst. de chimie.

SMţiinea de ştiinţe matematice

D-l Ingin.A. 6. loacbimescu Profesor la şcoala de poduri.

Vicepreşedinţi

^iinea de ştiinţe fizicHiiimice

D-l Dr A. Ostrogovich

Docent şi conf. la Fac. de ştiinţe.

Seeţiinea de .ştiinţe natirale

D-l Dr. Sava Athanasiu

Profesor universitar.

Secretari

D-l Dr. Traian Lalescu

Docent şi conf. la Fac. de ştiinţe.

D-l Vasiîe Crasu Chimist eipert.

D-l Dr. A. Pop. BâzQOşeanu Conf. la Facult. de ştiinţe.

Membrii în comitetul de redacţi«

D-l Dr. D. Emanuel Profesor universitar.

D-l Emil PangraU Profesor universitar.

D-l Dr. G. Ţiţeica Profesor universitar.

D-l Dr. C. Miculescu Profesor universitar.

D-l Dr. Al. Zahăr ia Profesor universitar

D-l Dr. Aug. Poltzer

Prof. de chimie alim. la şcoala

de farm.

D-l Dr. Gr. Aatlpa Direct. Muz.de ştiinţe naturale.

D-l Dr. D. VoinoT Profesor universitar.

Comitetul însărcinat cu publicarea buletinului

D-l Dr. Al. Myller Profesor Universitar.

D-l Dr. M. A. Mihăilescu Şef de lucrări Ia Inst. de chim.

D-l Dr. Max Reinhardt Şef de lucrări la Lab. de miner.

PREŞEDINTE DE ONOARE

M. S. REGELE CAROL I.

MEMBRII DE ONOARE

ANDRUSSOW NICOLAE, Dr. Profes-^eur a lUniversite, Kiev. (Elu le 8 Marş 1910). BERTRARD GARRIEL, Professeur â la Sorbonne, Rue de Sevres 102 Paris. (Elu le S Marş 1910). BAEYER, Dr. A. von, Gcheim-Rath, Professeur ă l'Unlversite, Arcis-Strasse 1, Mijnchen. (Eiu

le 15 Marş 1891). BLANCHARD, Dr. R. Professeur â la Faculte de Medicine. Paris. (Elu le 17 Novembre 1908). CROOKES, W. 7, Kensington Park Gardens, Londres W. (Elu le 5 Avril 1897). DEBOVE, Dr. Professeur, Membre de l'Acad. de Med., Rue la Boetie 53 i'aris. (Elu le 8 Marş

1910). DUPARC LOUIS, Proftsseur a l'Universite, Ecole de Chimie, Geneve (filu le 8 Marş 1910). ENGLER, Dr. C. Professeur â lUniversite de Karlsruhe. (Elu Ie 17 Novembre 1909). FISCHER, Dr. EMIL, Geheim-Ralh. Professeur â lUniversite de Berlin. (Elu le 17 Novembre

1908), GRIFFITHS, Dr. A. B. Professeur de chimie et de pharmacio, 12 Knowle Road, Brixton-Londoa.

(Elu le 5 Avril 1899). GLEY EU6ENIU, Dr. Professeur au Gollege de France ; Rue Monsieur le Prince 14 Paris; (Elu

le 8 Marş 1910). GUYE PHILIP, Dr. Professeur â lUniversite, Ecole de Chimie, Geneve. (Elu le 8 Marş 1910). HAECKEL, Dr. E. Professeur â l'Universite, lena. (Elu le 5 Avril 1900).

HALLER A. Professeur de chimie organique ă la Sorbonne, Paris. (Elu le 17 Novembre 1908). HENRY, Dr. L. Professeur â l'Universite, 2 Rue du Manege, Louvain. (Elu le 5 Avril 1899). HENEQUI FELIX, Professeur au College de France, Rue Thenard 9 Paris. (Elu le 8 Marş

1910). HAUG EMILE, Piofesseur de Geologie â la Sorbonne, Rue de Conde 14 Paris. (Elu le 27 Sepf.

1909). LE GHATELIER HENRI, Professeur â la Sorbonne. Paris. (Elu le 17 Novembre 1908). LIPPMANN, G. Professeur â la Sorbonne, Membre de l'Institut, Paris. (£lu le 5 Avril 1900). LOSANITSCH, SIMA M. Professeur â l'Ecole royalc superieure, Belgrade. (Elu le 5 Avril 1899). PATERNO, Dr. E. Professeur â l'Institut chimique de l'Universite, Rome. (Elu le 15 Marş 1891). PETROVIGI, Dr. M. Matematicien, Belgrade. (Elu le 30 Juin 1908). PIGARD, EMILE, Professeur. Membre de l'Institut, Rue loseph Bara 2. Paris. (Elu le 27 Sepî.

1909). RAMSAY, Dr. W., Professeur â Univcrsity-Colkge, Gower-Street, London. (Elu le 5 Avril 1899). SUESS, Dr. ED. Professeur â l'Universite, Presidont de l'Academie des Sciences, Afrikanergasse,

Vienne. (Eln le 5 Avril 4900). SCHIFF, Dr. Ugo, Professore di Chimica Generale nel R". Istituto di Studii superiori in Fi-

renze. (.Eletto ii 4 febbraio 1904). TSCHERMAK, Dr. Geh.-Hofrath, Professeur a l'Universite de Vienne. Griin-Anastasius-Gasse 00.

(Elu Ic 15 Juillet 1901). TECLU N, Dr. Professeur, Wiener Handels Academie, Wien. (Elu le 27 .Sept. 19(ifi) UHLIG VICTOR, Dr. Professeur a lUniversite, Wien. (Elu le 8 Marş 1910).

MEMBRII DE ONOARE AI SOCIETĂŢII DECEDAŢI

MEMBRES D'HONNEUR DEFUNTS DE LA SOCIETE

BECHAMP, A. f'rofesseiir emerite, Uocteur en medicin et es-sciences physique"?. Paris. (Elu

le 5 Avril lS94j. BERTHELOT, M. Senatcur, Professeur au Gollege de France, Secretaire perpetuei du lAcade-

mie di.s Sciences. Paris. (Elu le 15 Marş 1891). CANNIZZARO, S. Senatore del Kegno, Professore, Direttore del Instituto Chimico della K.

Universita. Roma. (Elu le 15 Marş 1891). FRIEDEL, CH. Professeur ă la Facult^ des Sciences, .\Iembre de Tlnstitut. Pari^. (Elu le

1.5 .Marş 1891). HOFMANN, Aug. Wilh. von. Professor. Berlin. (Elu 15 Marş 1891). KEKULE, A. F. Ceh.-He-.-Hr.lh und Professor. Bonn. (Elu le 25 Nov. 1891). MENDELEJEFF, Dr. D. Profeaseur a lUniversile de Petersbourg. (Elu le 5 Avril 1899). MUNIER-CHALMAS. Professeur ă la Sorbonne. Pari?. (Elu le 5 Avril 1900). MASCART, (E). Direcfeur du Hureau Central Meteorologique d France, Professeur au College

de 1 rance. Paris. (Elu le 15 Marş 1891).

BULETINUL

SOCIETĂŢII ROMANE DE ŞTIINŢE

BUCUREŞTI

ANUL XX-lea. IANUARIE— FEVRUARIE 1911 No. 1

PROCES-VERBAL

Al şedinţei din 8 Decemvrie i^io

Şedinţa se deschide la orele 8 -'/j, sub preşedinţia d-lui Inginer I. loNEScu. Se citeşte procesiil-verbal al şedinţei precedente şi se admite.

D-1 Preşedinta prezintă Societăţii cererea d-lui N. Satinover, licenţiat în chimie, propus de d-nii Dr. Ostrogovici şi A. Craife- leanu, pentru a fi ales membru al Societăţii. Mai prezintă şi o de- misie din calitatea de membru în societate a d-lui Inginer G. Galeriu.

D-l Preşedinte propune şi Societatea aprobă ca se respingă această demisie, de oarece d-l Galeriu este un vechiu membru şi a fost totdeauna în curent cu cotizaţiile.

Se cuvîntul d-lui Dr. A. Zaharia. D-sa citeşte o declaraţie iscălită de d-sa, în care aduce la cunoştinţa Societăţii de Ştiinţe, prin jurnalul Societăţii Centrale Agricole i se aduc personal o serie dc^ insulte şi i se critică lucrarea d-sale » Grâul Românesc, Recoltele anilor 1900— 1901 «. Această critică se reduce la transformarea câtorva greşeli de tipar, în afirmaţiuni proprii ale d-sale. şi la învi- nuirea că n'ar fi pomenit lucruri despre cari de altmintreli nu era ţinut amintească. Lucrarea fiind în urmă premiată de Academia Română, prin acelaşjurnal se aduc acuzaţiuni grosolane şi d-lui Pro- fesor Peni, raportorul, insinuându-se d-sa nici nu a cetit lucrarea.

Cum aceleaşi critice s'au făcut de aceleaşi persoane şi în nu- mele aceleeaş Societăţi » Centrale Agricole « şi la "Congresul Agro- nomilor Români", fără a fi combătute de persoanele oficiale ce erau prezente la acel congres, d-sa declară e pus în imposibili- tate de a răspunde atacurilor ce i se aduc şi de cătră Societatea Agricultorilor Unguri, pentru i s'ar putea obiecta şi agricultorii

BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE

români sunt stăpâniţi de aceleaşi păreri şi sentimente faţă de lucrarea d-sale. De aceea roagă Societatea aleagă un juriu, care studieze afacerea şi declare în mod public de partea cui este dreptatea.

Se cuvântul d-lui Radian. D-sa spune cum, în calitate de re- dactor al jurnalului «Societăţii Centrale Agricole", a făcut recensiuni între altele şi lucrării d-lui Zaharia. Găsind-o plină de greşeli a fost nevoit releveze acele greşeli. Susţine si înaintea Societăţii cum erorile relative la producţia la hectar nu pot fi atribuite ti- parului, cum pretinde d-l dr. Zaharia, de oarece nu sunt trecute la erată, şi pentru autorul chiar în prefaţă declară acele cifre sunt aproximative. In asemenea caz, toată cartea ar fi o greşală de tipar. Lămureşte şi a doua acuzaţie ce a adus cărţii d-lui dr. Za- haria, cum mediile în ce priveşte compoziţia chimică a grâului, le-a scos greşit neţinând seamă de diferitele varietăţi, şi mediile scoase în asemenea mod n'au nici o valoare. Spune de asemenea nu trebue pusă nici o bază pe procentul de azot al grâului ; din contra, grâul prost, care e sec, având numai tărâţe, va da un procent ridicat de azot. Propune ca pe lângă chimiştii cari analizează grâ- nele, se ataşeze şi agronomi cari verifice şi claseze cifrele.

Se cuvântul d-lui Dr. Istrati. D-sa spune Societăţile de Ştiinţe, şi mai ales a noastră, au dreptul şi chiar datoria de a se ocupa, nu numai de chestiunile ştiinţifice, dar şi de cele morale şi de cele economice. Societatea noastră va opri şi pornirile rele din- năuntru, dar va apăra şi pe membrii ei, dacă sunt loviţi pe nedrept din afară. Norma de conducere va fi adevărul ştiinţific şi binele ţării. In cazul de faţă, nefind atacat numai d-l Dr. Zaharia, dar şi d-l Poni, cel mai ales om al Universităţilor noastre, fiind la mijloc şi o chestiune de economie şi morală, d-sa se bucură a venit ocazia se cerceteze şi se publice rezultatul. îşi exprimă pă- rerea de răti atacurile vin tocmai din partea Societăţii Centrale Agricole, care nu se poate lăuda până acuma cu nici un act folositor ţării. In acest loc d-l Radian, întrerupând cu cuvinte insultătoare pe orator, d-l Dr. Angelescu, membru în Societatea Centrală Agri- colă, ia cuvântul risipind insinuaţiile d-lui Radian, declarând că, în adevăr. Societatea Agricolă a încercat facă unele lucruri ; până acum n'a reuşit, dar sunt speranţe ca pe viitor poată face ceva

D-l pRfişKDiNTE, luând cuvântul, propune Societăţii ca se aleagă în comitetul de judecată : d-nii Poni, Hepites şi d-sa ; iar

BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE

d-1 Radian propune din partea d-sale pe d-1 C. Miculescu, d-1 Dr. Zaharia propune pe d-1 Dr. Istrati . Societatea aprobă.

Se cuvântul d-lui Dr. C. Stătescu spre a-şi des volta conferenţa intitulată: Câteva fapte mai de seamă din domeniul Fizicei în- tâmplate în vara trecută. T) -sa. spune între altele şi următoarele*

1. rezultatul practic al Congresului de Radiologie şi Electri- citate din Bruxelles a fost stabilirea unui etalon de Radioactivitate şi a unei unităţi de măsură a emanaţiunii.

2. Aminteşte de cercetările d-lui I. I. Thomson asupra razelor de electricitate pozitivă de la Asociaţia Britanică din Sheffield :

3. Conferinţa d-lui Plank asupra situaţiei fizicei moderne faţă de concepţiiinea mecanică, ţinută la întrunirea naturaliştilor din Konigsberg ;

4. Şase conferinţe asupra principiului relativităţii şi a ideilor noi în fizică, ţinute de Lorentz în Gottingen;

5. Despre centenarul Universităţii din Berlin şi despre institui- rea fondului Wilhelm II, consacrat numai cercetărilor ştiinţifice.

Nemai fiind nimic la ordinea zilii, şedinţa se ridică la orele 10 ^/j. Preşedinte, Inginer I. lonescu. Secretar, F. V, Crasu.

PRpCES-VERBAL

Al şedinţei de la 10 Ianuarie

Şedinţa se deschide la ora 9, sub preşedinţia d-lui I. Ionescu. Se ceteşte procesul-verbal al şedinţei precedente şi se aprobă. Se alege ca membru al societăţii d-l Tancred Constantinescu, propus în şedinţa precedentă. La ordinea zilei :

Comunicarea d-lui Prof. Gh. Ţiţeica asupra Congruenţelor W. D-sa demonstrează o proprietate caracteristică a suprafeţelor, ce au drept ecuaţiune în coordonate tetraedrice :

X|^«ix.y"âX3">3X4™4=:i (m,i-|-m2-f-m..+m^=o).

Comunicarea d-lui Doc. T. Lalescu asupra Ecuaţiunilor lineare de tip iperbolic cu derivate parţiale de ordinul al doilea. Se intro- duce noţiunea de derivate caracteristice, se studiază ansamblul de date logice iniţiale care se pot pune la această ecuaţiune şi se stu- diază problema lui Cauchy ; pentru studiul acestor chestiuni se în- trebuinţează ecuaţii integrale curbilinii de tipul Volterra.

Şedinţa se ridică la ora 10 V'^.

Preşedinte, I. lonescu. Secretar, T. Lalescu.

lîUJ.EI'JMlI. SUtlICTATH lioMÂNE DE ŞTJI.NTE

SUR LES EQUATIONS MIXTES-LINEAIRES

PAR N. PRAPOROESCO

I. Burgatii ') a donne la generalisation suivante d(j l'cqiiation de Volterra :

jj [ Np(xs)9(s) 4- N,,_.(xs)ş)'(s) + . . + H,(xs)î)(i')(s) I ds =z= f x),

en rempla(;ant la foiiction cp(x) par un polynome dirf(4r(inti('l d'orilre fini p.

Dans sa These'-^) M. T. Lalesco reduit cette equation. â l'aide des inteo-rations par parties, ă iine equation de; ia forme:

^ Ai(x)9a)(x) + J;N(xs)9(s)ds = f(x),

qui revient a la resolution d'iine equation differentielle lineaire d'ordre {p // et a une mecanisme d'approximations succesîves : on demontre de cette maniere l'^xistence d'une solution unique, finie et continue, qui prend, aînssi que ses (p i) premih-es derivees des valeurs arbitraires â 1' origine.

On peut eviter Fintroduction de l'equation lineaire du t3'pe oe- ndral, a l'aide d'un artifice. du â M. T. Lalesco ^), en prenant comme inconue, a la place de ©(x), la derivee d'ordre le plus eleve qui fi- g-ure dans ces equations. Ce procede est applicable a l'equation plus g^n^rale :

in p

( I ) 2 Ai(x)?fl'(x^ + _/; j; [ Ni(xs)?0)(s) ] ds = f(.),

i = o " j =r- o

et presente, outre sa simplicite, l'avantage systematique de n'in- troiuire sur la derivabilite des coGfficients quelesconditi >ns stricte- ment indispensables.

OBURGATTi: Keiul. dei Lincei, 1903.

2) T. LA.Uh;SGO: Sur l'equation de Voltera (Jl. de Math. pures et appliquees, 1908). "^) T. L.VLESGO : La th^orie des equations iategrales liueaires d'ordre infini (Buletinul Soc, de Ştiinţe, 19 10).

BULETINUL SOCIETĂŢII KUMÂNE DE ŞTIINŢE

Le meme proceda est encore applicable au type d'equations : (2) J^ Ai(x)9(i)(x) +l\Y. Ni(xs)9Q)(s)] ds = f{x),

i=o j=o

considerees par M. G. Bratu^), facilement reductibles â des ^qua- tions de Fredholm de second espece.

Nous nous proposons d'appliquer cette methode â l'etude des eqiiations (i) et (2).

2. Nous consid^rons d'abord l'^quation (i), avec l'hypothese A(x)=i, et nous distinguerons deux cas, suivant que m est plus grand ou plus petit que p.

a) m ;^p. Posons: (p('""'(x)=z ; on aura d'unc maniere generale î

1)(r)(x) = / '"zds"^-'- 4- C., r, -f . 4- <^n.-r

* ^ /o ' i(m r i)I

Jo (p_r— i)!

. + .-H-C.

'(m_r-i)! jusqua:

(3) o(x) = p^-^ZI^'zds + C,.^^^ + . . + C.„ ^^^ '^ ' Jo (m— i)! ' Mm— i)l

Remplagant ces valeurs dans T^quation (i) on obtient imme- diatement :

(4)

=w+/;EA«g;!£:^,z(s)i

(m-i-i)!

'3(S— t)""-)-

+i4£^'i(-)iogEt;)!^('>^'

ds = F(x)

ou, appliquand â la seconde integrale la formule de Dirichlet :

[it=in I / Kiii i I

+ r^Nj(xt)||=?gi;dtlz(s)ds=F(K),

qui est bien une equation de Volterra de seconde espece, c'est- â-dire du type simple.

*) G. Bratu: Comptes Reiidiis de rAcademie de Paris, 1909,

BULETINUL SOCIETĂŢII ROMANE DE ŞTlIN'rE

Le second membre de (4) contient lineairement Ies constantes Ci. . . C„i. La solution generale de (4) depend donc de m con- stantes arbitraires, qui sont Ies valeurs de o(x) et de ses (p i) premieres derivees â rorioine. L'equation de Volterra donne, par cons^quent, la solution unique de (i), qui prend, ainsi que ses (m i) premieres derivees, Ies valeurs: C,, . . . C,n, respectivement. Cette solution est obtenue, une fois z(x) determine, a l'aide de la formule (3).

bj m<<p. Posons, dans ce cas :

©(p)(x) = z.

A l'aide des memes formules de transformation, on obtiendra l'equation :

I~ m . sp i I

..^EA.(x)|zJ_^+N,(xs)

(5)

<L"-ofcS^-

z(s)ds = F(x).

Cest une equation de Volterra de premiere espece, qui est, dans un cas tr^s general, de la forme :

(6) /"(^'>'""N(xs)z(s)d3 = F(x),

avec N(xx)4zo, pour x = o.

On peut reduire imediatement cette Equation au type simple de Volterra par Tartifice suivant.

Posons :

z(s) = y«(s). En integrant (6) par parties, on obtient l'equation de Volterra :

N(xx)y(x) j^ ^^^Nf (xs)y(s)ds = (- i)-! F(x),

qui est bien du type simple, puisque par hypothese N(xx)±o.

Dans le cas general, on aura â appliquer le second ^ theoreme de M. Volterra.

BULETINUL SOCIETĂŢII UOMÂNE DE ŞTIINŢE

3. Passons maintenant â l'^quation (2). II est evident, que d'une maniere entierement analogue, on aura IMquation integrale equivalente :

(7)

+ j;[,/;i:g^l-9^,Ni(xt)dt]<s)ds = F(x)

dans le premier cas, et :

(8) '" -■' (P-'-')

dans le second cas.

L'^quation (7) est de la forme :

z(x) -+- / 'Q(xs)z(s)ds + / P(xs)z(s)ds == F(x),

equation qui peut (Uicore s'ecrire :

z(x) + / '^N(xs)z(s)ds = F(x),

en desig-nant par N(xy) un noyau egal â 0(xy)+P(^y) pour y ^ x et a P(xy) pour y>x.

Les considerations analogues sont applicables â Tequation (8) OII, pour obtenir une equation Fredholm de seconde espece, ii fau- dra appliquer le meme artifice qu'au numero precedent.

Dans le premier cas, le nombre des constantes arbitraires sera egale a m, comme au numero precedent.

Dans un prochain travail, nous nous proposons d'appliquer les memes methodes aux systemes d'equations mixtes^ lineaires et non lineaires.

10 IJULKTINLI), SOGIl'TA ŢII liU.MÂMC hh: ŞTIINŢE

INTRODUCERE LA TEORIA ECDATIUNILOR INTEGRALE

UE TR. LALESCU

(Urmare) IV, DESVOLTĂRI DIVERSE

15. Construirea unui sâmbure având un număr finit de va- lori caracteristice. Rezultatele capitolului precedent ne permit de a trata acum problema următoare :

se determine forma cea mai generală a unui sâmfmre cu n valori caracteristice de multiplicitate şi rang date.

Pentru aceasta facem întâiu observaţia următoare, cuprinsă de fapt într'o teoremă deja stabilită :

Părţile unui sâmbure, care corespund la două valori caracteristice tliferite, sunt ortogonale între elt;. Intradcvăr, dacă însemnăm :

N(xy^ =- G,(xy) + G,(xy) ^- Q(xy)

sâmburele (^"ii(xy), ortogonal cu G2(x\^) -|- Q(xy) va fi ortogonal şi cu Q(xy). De acî rezultă sâmburii G|(xy) şi G.,(xy) vor fi de asemenea ortogonali.

însemnăm prin Gp(xy ) sâmburele general corespunzător unei valori caracteristiee Ap de multiplicitate şi rang date, sâmbure pe care ştîm să-1 construim. Este evident expresiunea,

G,(xy) -\- G.Cxy) + + Gn(xy) + E(xy)

în care K(xy) reprezintă un sâmbure fără constantă caracteris- tică va ti sâmburile căutat, cu condiţie ca diferitele sale părţi fie ortogonale între ele, după cum rezultă din observarea precedentă. Pentru aceasta, e de ajuns mai întâiu ca funcţiunile fundamentale, cari servesc pentru construirea sâmburilor Gp(xy), formeze în ansamblu an singur sistem biortogonal ; funcţiunea E(xy) trebuie după aceea şi ea fie ortogonală tuturor sâmburilor Gp(xy).

16. Cazul unui număr infinit de valori caracteristice. Ra- ţionamentul precedent se generalizează în mod evident şi pentru cazul unui număr infinit de valori caracteristice, cu condiţie ca seria

00 HGplxyi

iiii,i:ri.\X'[, şocjKTAŢii komâm; dk şiiixjk

fie converg-entă şi inteqrabilă în raport cu variabilele x şl y. O condiţiune necesară pentru aceasta, este ca exponentul de conver- Q-enţă al valorilor caracteristice fie cel mult egal cu 2 : cu alte cuvinte, seria ^i'^n" trebuie sa fie convergentă.

Nu s'a putut demonstra până acum această condiţiune este suficientă, nici nu s'au formulat condiţiunile necesare şi suficient'^-.

17. Sâmbure fără constantă caracteristică. Sâmburele

o.,(xy) r= a|«l>|(x'^^T,fy) + ..-]- a,,_i ^l'a-,fx)M\.(y)

ne a dat deja un exemplu de sâmbure fi'^ră valoare caracteristicfi. In mod mai general, dacă s^ria

n=i

converg-e uniform, va constitui de asemenea un sâmbure fără va- loare caracteristică, căci toate urmele sale sunt nule : funcţiunile «l> si W formează, bine înţeles, cele două grupe ale unui sistem bior- togonal. Aplicând funcţiunilor <I> şi T o substituţie biortogonală oarecare, vom obţine astfel o clasă foarte întinsă de sâmburi fără constante caracteristice. Iată câteva exemple : - luăm

<I),i(x) = cosnx , n*n(y) = cosny şi ^ |an' = A

oSţinem sâmburele ' )

CC'

y^ an cosnx cos(n-j-i)y

n=s I

In acelaş mod considerăm <!>,_,„( x) =^ ^r2.i(x) -— sin nx si 'I'2n4-i(x) =- T211 1- ,(x) ^^^ cos nx : obţinem sâmburele *) :

co

Y]an cosnx sin ny.

') 1^. (jOL'RS.vt. M, C'itc. (Ann. de Toulouse, pag. 87-

12 BULETINUL .SOCIETĂŢII RUMÂNE UE ŞTIINŢE

CAP. III

SÂMBURI SPECIALI

I. SÂMBURELE SIMETRIC

1. D-1 D. Hilbert are meritul de a fi pus în evidenţă rolul sime- triei sâmburelui în teoria ecuaţiilor integ-rale. D-sa a studiat com- plet acest caz ; elevii săi, d-1 E. Schmidt, în particular, l-au ajutat a da rezultatelor obţinute o formă şi demonstraţiuni simple şi ele- Q-ante, pe o cale directă. In această lucrare toate rezultatele rela- tive la sâmburele simetric decurg- imediat din teoria generală.

2. Teorema d-lui D. Hilbert. Orice sâmbure simetric are cel puţin o valoare caracteristică.

Această teoremă a fost stabilită pentru întâia oară de d-1 D. Hilbert ^) ; D-1 E. Schmidt i-a dat o demonstraţie direct, luând-o ca teoremă fundamentală -).

Pentru demonstraţie este suficient de a observa n^+fo. In- tr' adevăr :

n4== / Ni(S|S2)Ms,|ds2.

Dar sâmburele Njls^s^) =^ |N(S|S)N(ss2)ds nu poate fi identic nul în tot pătratul de integrare, fiindcă în particular, pentru Sj=rs2 ,

avem

N^(s,s^)=j[N(R,s)]2ds.

Prin armare, avem într' adevăr n^^:©.

Această teoremă se poate enunţa şi astfel :

Un sâmbure fără constantă caracteristică nu poate fi si- metric.

Observaţie. La enunţarea acestei teoreme nu ţinem socoteală de sâmburii discontinui, cari sunt egali cu zero, aproape ^) în tot intervalul de integrare ; pentru asemenea sâmburi teorema prece- dentă nu mai este adevărată. luăm de ex. sâmburele, nul pre-

*) D. Hilbert, Ciruadziige I. Mitt. (pag. 72).

■-) E. SCHMIIJT. P'ntwicklung willk. Fiinotioiien I. Teii (Mah. Aun. Bd. 63, pag. 4SS)» -) Ne Toni folosi de aceasta copresiune, îutrebuinţatît de d 1 Plancherel, pentru a înlocui perifrază t afară de un ansamblu de o întindere nulîl».

liULETiNUL SOCIETĂŢII ROMANK DE ŞTIINŢE

tutindeni în pătratul (oi,oi) afară de diagonala (o,i) şi un număr finit de perechi de drepte, paralele cu axele, întâlnindu-se pe diagonală, unde sâmburele are valori pozitive. Pentru acest sâm- bure avem :

dar

n| = /N(ss)ds = n^ ~ I N(siSi)-ds[ds2

de oarece funcţiunea N(siS2) nu este diferită de zero decât pe un număr finit de drepte: în acelaş mod np = o (p>2), prin urmare, D(X) = e^'\

3. Proprietăţile valorilor caracteristice.

a) Valorile caracteristice ^unt reale. presupunem într'ade- văr X ar fi complex şi fie 9i(x) o soluţiune fundamentală rela- tivă la acest pol. Sâmburele N(xy) fiind real, X, ') va fi de aseme- nea o valoare caracteristică a sâmburelui, iar 9,(x) o soluţiune fun- damentală relativă, atât pentru ecuaţia dată, cât şi pentru ecuaţia asociată. Dacă acum am avea : ^i + X, , ar trebui avem şi

J?i(s)?i(s)ds±o,

ceeace este imposibil. Prin urmare, în mod necesar, avem ^^i^^i adică A^ real.

b) Polurile sâmburelui rezolvaţii sunt simple, căci o solu- ţiune fundamentală 9,(x) este soluţiune fundamentală şi pentru ecuaţia asociată. Insă :

J9i2(s)ds + o.

Prin urmare, în virtutea criteriului privitor la ordinul polurilor, polurile vor fi simple.

c) Funcţiunile fundamentale coincid astfel cu soluţiunile funda- mentale ; şi, de oarece din cauza simetriei, soluţiunile fundamentale sunt aceleaşi şi pentru ecuaţia asociată, rezultă funcţiunile fundamentale formează un singur sistem ortogonal.

14 BULETINUL SOCIETĂŢII JlOMÂNE DE ŞTIINŢE

d) Orice sâmbure simetric^ având un număr finit de valori caracteristice^ este neapărat de forma

fiecare valoare caracteristică este scrisă de un număr de ori egal cu rangul său.

Intr'adevăr, dacă extracrem din N(xy) partea caracteristică polu- rilor A,j . .Xp, care e tocmai expresia (i), rămâne un sâmbure tot simetric, care prin ipoteză nu mai are nici o valoare caracteristică : în virtutea teoremei d-lui D, Hilbert, acest rest va fi nul.

4. Inegalitatea lui Bessel. Fiind dat un sistem ortogonal de funcţiuni 9p(x) şi f(x) o funcţiune al cărei pătrat este integra- bil, avem inegalitatea :

■2-^C,'-^CJ<fv'{x)dx

Cp fiind ( Deficientul lui Fourier Cp = / f(s)9p(s)ds. observăm mai întâiu Cp există ; într'a levăr avem

2r(s)9p(s)<f'-^(s) + 9p(s) şi prin urmare

2 / f(s )9p ( s )ds '^- I + / f'-(s) :ls

Acest punct fiind stabilit, ineg-alitatea lui Bessel rezultă din eg-a- litatea evidentă:

/ [ ^(s) Ci?i(s) c,9.,(s) . . . en 9,1 (s) ] -ds =

/hs)ds--[c;-^ + c/-'-i-.. + c./],

de oarece primul membru ai acestei egalităţi este evident pozitiv. Deducem de aci observaţia importantă :

Fiind dată o funcţiune reală^ al cărei pătrat este integrabil, seria formată de pătratele coeficienţilor săi dintr'o serie FoU" rier, este convergentă.

1) Aj reprezintă cantitatea imaginar conjugat:! lui Aj

BULETINUL SOCIETĂŢII ROMAnE DE ŞTIINŢE 15

5. Desvoltarea unei funcţiuni arbitrare în serie de funcţiuni fundamentale. (Hilbert-Schmidt). Orice fiincţmne f(x) deforma :

j N(xs)h(s

)ds

este desjăşiir abilă înir'o serie complet convergentă de funcţi- uni fundamentale ale sâmburelui Nfxy) ; funcţiunea h(x) şl N(xy) sunt funcţiuni al căror pătrat este integrabil. Coeficientul lui Fourier este :

IS .— '),

C„ =: jN(st)'f.. (t)h(s)dsdt = ^l^n (S)h(s)ds ^^^

astfel dacă teorema ar fi adevărată, desvoltarea căutată ar (\

si.)=Y>¥^

= 1

Vom demonstra mai întâiu convergenţa acestei serii. Pentru

[h,-M-..4-linr]

aceasta, observăm :

Ra- =

hn 9a (^) , hm?in(x)

'> ~r ~r 7

Insă expresia —- = / N(xs) Îs este coeficientul lui Fourier al funcţiunii în y N(xy) ; în virtutea inegalităţii lui Bessel, paranteza doua este deci mai mică ca / N(xs)-ds şi, prin urmare, mai mică de- cât o cantitate finită A. Prin urmare avem :

ceeace demonstrează convergenţa absolută şi uniformă.

Rămâne acom de demonstrat aceasta serie reprezintă pe f(x) ; vom stabili pentru aceasta funcţiunea : (2) R(x) = f(x)-S(x)

este identic nulă.

'; iu acest capitol vom scrie semnul înaintea integralei în ecuaţia lui Fredhojin.

HULET1NU1> SUGIETAŢU HDMÂNE DK STllXtE

Funcţiunea R(x) este ortogonală cu toate funcţiunile fundamen- tale, în virtutea construcţiunii seriei S(x). Avem prin urmare :

/R-(s)ds = /f(s)R(s)ds /s(s)R(s)ds = /V(s)R(s)ds

=:/R(s)N(st)h(t)dsdt = fh{t] I N(st)R(s)ds = o,

de oarece

/R(s)N(st)ds^o '),,

Deci

R(s) = o.

6 Sâmbure închis (ferme, abgeschlossen). Un sâmbure simetric este închis dacă nu există nici o funcţiune h(x), astfel ca avem identic :

(2') /N(xs)h(s)ds =r o

Sistemul funcţiunilor fundamentale ale unui sâmbure simetric închis este complect şi viceversa. Intr'adevăr, identitatea (2) şi re-

laţiunile /9n(s)h(s)ds = o sunt reciproce, după cum rexultă din ra- ţionamentul făcut în notă, la teorema D-lor D, Hilbert şi Schmidt. Numărul valorilor caracteristice nle unui sâmbure închis este infinit. Intr'adevăr, dacă ar fi finit, numărul funcţiunilor fun- damentale ar (\ şi el finit; însă un sistem complet de funcţiuni orto-

gonale nu poate niciodată fie finit.

i) Această relaţiuue ar fi imediata, daca seria sâmburelui ar fi convergenta. O putem demonstra pe altă cale în modul următor : Relaţia (2) ne permite scrim :

f R(s)N(st)ds = f f(s)N(st)ds / N(st)S(s)ds (3') "^

= / Ni(st .h(t)dt - 2j "i;;^-

n = l Insă avem ;

XT . .^ *lOO*l(y) . , *n(x)*„(y) ,

^l(st) = ~~~)~^i + + Xn^ ■"

seria din membrul al doilea fiiud complet convergenta, de oarece : Ni(xy)= f N(xs)N(sy)d De aci rezultă :

/N,(st)h(tMt = y;'^

n= I cu alte cuvinte, membrul al doilea al relaţiei (3) este nul.

BULETINUL SOCIETĂŢII ROMANE DE ŞTIINŢE 47

7. Sâmbure definit. Vom spune un sâmbure N(xy) este de- finit dacă nu există nici o funcţiune h x), astfel :

(3) /N( xy)h(x)h(y)clxdy -= o

Un sâmbure definit este neapărat închis, căci dacă rN(xs)h(s)ds = o

condiţia (3) ar fi evident împlinită pentru h(x).

Valorile caracteristice ale unui sâmbure definit sunt toate de acclaş SPmn. Intr'adevăr, presupunem valorile a,i şi X,„ ar fi de semne contrare ; dacă luăm atunci

h(x) :-"-a9,.(x) 4- l)9,„(x) obţinem

r a- b-

(4) / N(xy)h(x)h(y)dxdy = ^- -f .-.

De^oarece cantităţile X„ şi X,n sunt de semne contrare, membrul al doilea al relaţiei (4) poate deveni nul pentru valori convenabil alese, date lui a şi b ; deci în acest caz sâmburele N(xy) n'ar fi definit.

Orice sâmbure iterat al unui sâmbure închis, este definit.

luăm într'adevăr N|(xy) = / N(xs)Nsy)ds. Nu, putem avea

/N\(xy)h(x)h(y)dxdy = 0, căci am deduce

AN(xs)h(x);lx]'Ms; de unde

/N(xs)h(x)dx = o.

8. Sâmbure positiv ; sâmbure quasi definit. Un sâmbure N(xy) se numeşte pozitiv când pentru orice funcţiune h(x) avem :

|'K(xy)h(x)h(y)dxdy ^ o.

Valorile caracteristice ale unui sâmbure pozitiv sunt toate pozitive. Intr'adevăr dacă ne referim la raţionamentul făcut la No. 7, membrul al doilea al relaţiei (4) poate devină şi negativ, pentru valori ale lui a şi b convenabil alese, dacă Xa şi >.,,e ar fi de

18 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE

semne contrare. Un exemplu de sâmbure quasi-defmit este seria convergentă : ^

în care X,i reprezintă cantităţi pozitive, iar ©„(x) un grup extras dintr'un sistem ortogonal.

Doua cazuri se pot întâmpla :

Numărul funcţiunilor h(x) pentru cari avem

(5) /N(xy)h(x)h(y)dndy=o,

poate fie finit sau infinit. In primul caz vom spune sâmbu- rele este qtiasi- (lefi nit. Această numire se justifică prin faptul că, în acest caz, sâmburele este de forma :

N(xy) = G(xy) C,hi(x)h,(y) - C.h2(x)h2(y) + . . Cphp(x)hj,(y)

G(xy) reprezentând un sâmbure definit, iar p un număr finit. Intr'adevăr, dacă hi(x), . . hp(x) reprezintă funcţiunile, jn număr finit, pentru care egalitatea (5) este veiificată, iar C, ... Cp nişte cantităţi pozitive, este evident expresiunea

N(xy) + C,h,(x)h,(y) + . . . + Cphp(x)hp(y)

nu va mai verifica relaţia (5) pentru nici o funcţiune h(x), şi va fi, prin urmare, un sâmbure definit.

Sâmburii quasî-definiţi au şi ei prin urmare o infinitate de valori caracteristice, toate pozitive.

ÎI. SÂMBURELE SIMETRIC STRÂMB

9. Un sâmbure N(xy) este simetric strâmb dacă avem

N(xy) = -N(xy).

Sâmburii simetrici strâmbi joacă în teoria ecuaţiuniior diferen- ţiale lineare de ordin impar, acelaş rol ca sâmburii simetrici în teoria ecuaţiuniior diferenţiale lineare de ordin par.

10. Propietăţi ale valorilor caracteristice, a) Valorile carac- teristice sunt imaginare pure, de forma ivi. Intr'adevăr, fie Xj

BULETINUL SOCIETĂŢII ROMANE DE STIINŢI iS

O valoare caracteristică şi ^jfx) o soluţiime fundamentală relativă. Avem :

9,{x) Ap /N(xs)9,(s)ds ~ (j, de unde deducem

9,(x) + X, ['N(sx)9,(s)ds = o şi, prin urmare,

^i(x) + Xf /N(sx)9i(s) Îs = o.

Dacă deci Xj ± Xj, funcţiunile ^jfx) şi 9i(x) ar fi ortogonale, ceeace e imposibil. Prin urmare, trebuie avem în mod necesar X, EE 'h^ şi prin urmare X| =: + ''i.

b) Polurile sunt simple. Intr'adevăr, dacă

9j(x) vi / N(xs)9j(s)ds -^^i^ o

vom avea de asemenea

9^(x) - vi /N(sx)(p|(s)ds = o.

De acî rezultă la orice soluţiune î),(x) corespunde soluţia aso- ciată 9|(x), astfel

/9j(s)9|(s)ds + o, '

ceeace arată polurile sunt simple.

c) Fiecare sâmbure simetric strâmb are cel puţin doă valori caracteristice. Intr'adevăr, mai întâiu există cel puţin o valoare caracteristică, fiindcă :

"i. = /[Ni(siS.2)]-dsjds + o,

de oarece Nj(ssj) = / 1 N(ss,)]-ds nu poate fi identic nul.

De acî rezultă avem cel puţin două, fiindcă toate rădăcinile sunt câte două imaginar conju erate.

Această teoremă se poate enunţa şi astfel :

Un sâmbure fără constantă caracteristică nu poate fi si- metric strâmb.

d) Dacă ©,(x) este o funcţiune fundamentală , o ^{x) este func- ţiunea fundamentală asociată.

20 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE

Polurile fiind simple, totalitatea funcţiunilor fundamentale coin- cide cu acea a soluţiunilor fundamentale. Dacă 9i(x) cp.)^^)-- ?»(^) sunt n soluţiuni linear independente corespunzătoare la valoarea X, de ranof n, funcţiunile

9,(x) , ^./x), . . . 9„(x)

vor fi n soluţiuni